$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$의 임계점, 극값점 및 안장점

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$의 임계점을 찾아 분류하시오.

첫 번째 단계는 모든 1계 편도함수를 구하는 것입니다:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

이제 그것들을 분류해 보겠습니다.

모든 이계 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

식 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}$$$을 정의하세요.

$$$\left(0, y\right)$$$는 무한 개의 점들로 이루어진 집합으로, 점들을 분류할 수 없습니다.

$$$\left(x, 0\right)$$$는 무한 개의 점들로 이루어진 집합으로, 점들을 분류할 수 없습니다.

국소 최댓값

상대 최댓값이 없습니다.

극솟값

국소 최솟값이 없습니다.

안장점

안장점이 없습니다.

분류할 수 없는 임계점

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A