Punti critici, estremi e punti di sella di $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Trova e classifica i punti critici di $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

Il primo passo consiste nel trovare tutte le derivate parziali di primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Ora, proviamo a classificarli.

Trova tutte le derivate parziali seconde:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Definisci l'espressione $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ è un insieme infinito di punti, non possono essere classificati.

$$$\left(x, 0\right)$$$ è un insieme infinito di punti, non possono essere classificati.

Massimi relativi

Nessun massimo relativo.

Minimi relativi

Nessun minimo relativo.

Punti di sella

Nessun punto sella.

Punti critici che non possono essere classificati

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A