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Pontos críticos, extremos e pontos de sela de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Multiplicadores de Lagrange
Sua entrada
Encontre e classifique os pontos críticos de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.
Solução
O primeiro passo é encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.
O sistema possui as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.
Agora, vamos tentar classificá-los.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Defina a expressão $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$
$$$\left(0, y\right)$$$ é um conjunto com um número infinito de pontos; eles não podem ser classificados.
$$$\left(x, 0\right)$$$ é um conjunto com um número infinito de pontos; eles não podem ser classificados.
Resposta
Máximos relativos
Sem máximos relativos.
Mínimos relativos
Sem mínimos relativos.
Pontos de Sela
Sem pontos de sela.
Pontos críticos que não podem ser classificados
$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A