Points critiques, extrémums et points selle de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Trouvez et classez les points critiques de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

La première étape consiste à trouver toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Maintenant, essayons de les classer.

Trouvez toutes les dérivées partielles du second ordre :

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Définissez l'expression $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ est un ensemble infini de points qui ne peuvent pas être classés.

$$$\left(x, 0\right)$$$ est un ensemble infini de points qui ne peuvent pas être classés.

Maximums relatifs

Aucun maximum relatif.

Minima relatifs

Pas de minima relatifs.

Points selles

Aucun point selle.

Points critiques qui ne peuvent pas être classés

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A