$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ の臨界点、極値、および鞍点

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ の臨界点を求め、分類せよ。

最初のステップは、一階偏導関数をすべて求めることです:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$。

では、それらを分類してみましょう。

二階偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

式$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}$$$を定義せよ。

$$$\left(0, y\right)$$$ は無限個の点からなる集合であり、それらは分類できない。

$$$\left(x, 0\right)$$$ は無限個の点からなる集合であり、それらは分類できない。

極大値

局所最大値はありません。

相対極小値

相対極小値はありません。

鞍点

鞍点は存在しません。

分類不能な臨界点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A