Titik kritis, ekstremum, dan titik pelana dari $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Temukan dan klasifikasikan titik-titik kritis dari $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

Langkah pertama adalah menentukan semua turunan parsial orde pertama:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Sistem ini memiliki solusi riil berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Sekarang, mari kita coba mengklasifikasikannya.

Tentukan semua turunan parsial orde dua:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Definisikan ekspresi $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ adalah himpunan yang terdiri dari tak hingga banyak titik. Titik-titik tersebut tidak dapat diklasifikasikan.

$$$\left(x, 0\right)$$$ adalah himpunan yang terdiri dari tak hingga banyak titik. Titik-titik tersebut tidak dapat diklasifikasikan.

Maksimum Relatif

Tidak ada maksimum relatif.

Minimum Relatif

Tidak ada minimum relatif.

Titik Pelana

Tidak ada titik pelana.

Titik kritis yang tidak dapat diklasifikasikan

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A