|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte von $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$
Verwandter Rechner: Lagrange-Multiplikatoren-Rechner
Ihre Eingabe
Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.
Lösung
Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.
Das System hat die folgenden reellen Lösungen: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.
Versuchen wir nun, sie zu klassifizieren.
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
Definieren Sie den Ausdruck $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$
$$$\left(0, y\right)$$$ ist eine Menge unendlich vieler Punkte; sie lassen sich nicht klassifizieren.
$$$\left(x, 0\right)$$$ ist eine Menge unendlich vieler Punkte; sie lassen sich nicht klassifizieren.
Antwort
Lokale Maxima
Keine relativen Maxima.
Lokale Minima
Keine relativen Minima.
Sattelpunkte
Keine Sattelpunkte.
Kritische Punkte, die nicht klassifiziert werden können
$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A