Lagrange-Multiplikatoren-Rechner
Wenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren Schritt für Schritt an
Der Rechner versucht, die Maxima und Minima der Funktion in zwei oder drei Variablen unter den gegebenen Nebenbedingungen mithilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren zu finden, wobei die Schritte angezeigt werden.
Verwandter Rechner: Rechner für kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die maximalen und minimalen Werte von $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ unter der Nebenbedingung $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.
Lösung
Achtung! Dieser Rechner prüft die Voraussetzungen für die Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht. Verwenden Sie ihn auf eigene Gefahr: Das Ergebnis kann falsch sein.
Formuliere die Nebenbedingung $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ als $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$ um.
Bilden Sie die Lagrange-Funktion: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).
Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.
Das System hat die folgenden reellen Lösungen: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.
$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$
$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$
Somit ist das Minimum $$$-25$$$ und das Maximum $$$25$$$.
Antwort
Maximum
$$$25$$$A an der Stelle $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.
Minimum
$$$-25$$$A an der Stelle $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.