Rechner für kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte

Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von $$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$.

Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$.

Das System hat die folgenden reellen Lösungen: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.

Versuchen wir nun, sie zu klassifizieren.

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Definieren Sie den Ausdruck $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$$$

Da $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ größer als $$$0$$$ ist und $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ kleiner als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(0, 0\right)$$$ ein lokales Maximum ist.

Da $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ größer als $$$0$$$ ist und $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ größer als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ ein relatives Minimum ist.

Da $$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ kleiner als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ ein Sattelpunkt ist.

Da $$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ kleiner als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ ein Sattelpunkt ist.

Lokale Maxima

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A

Lokale Minima

$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A

Sattelpunkte

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A