Κρίσιμα σημεία, ακρότατα και σημεία σέλας της $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Βρείτε και ταξινομήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Τώρα, ας προσπαθήσουμε να τα ταξινομήσουμε.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Ορίστε την παράσταση $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ είναι ένα σύνολο άπειρου πλήθους σημείων, δεν μπορούν να ταξινομηθούν.

$$$\left(x, 0\right)$$$ είναι ένα σύνολο άπειρου πλήθους σημείων, δεν μπορούν να ταξινομηθούν.

Τοπικά Μέγιστα

Δεν υπάρχουν σχετικά μέγιστα.

Τοπικά Ελάχιστα

Δεν υπάρχουν τοπικά ελάχιστα.

Σημεία σέλας

Δεν υπάρχουν σημεία σέλλας.

Κρίσιμα σημεία που δεν μπορούν να ταξινομηθούν

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A