Puntos críticos, extremos y puntos de silla de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Halla y clasifica los puntos críticos de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

El primer paso es encontrar todas las derivadas parciales de primer orden:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

A continuación, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, o $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

El sistema tiene las siguientes soluciones reales: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Ahora, intentemos clasificarlos.

Halle todas las derivadas parciales de segundo orden:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

Defina la expresión $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ es un conjunto infinito de puntos; no se pueden clasificar.

$$$\left(x, 0\right)$$$ es un conjunto infinito de puntos; no se pueden clasificar.

Máximos relativos

No hay máximos relativos.

Mínimos relativos

No hay mínimos relativos.

Puntos de silla

No hay puntos de silla.

Puntos críticos que no pueden clasificarse

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A