Calculadora de multiplicadores de Lagrange

Encuentre los valores máximo y mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ sujetos a la restricción $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

¡Atención! Esta calculadora no verifica las condiciones para aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange. Úselo bajo su propio riesgo: la respuesta puede ser incorrecta.

Reescriba la restricción $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ como $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Forma el Lagrangiano: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Encuentre todas las derivadas parciales de primer orden:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).

Luego, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ o $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

El sistema tiene las siguientes soluciones reales: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Por lo tanto, el valor mínimo es $$$-25$$$ y el valor máximo es $$$25$$$.

Máximo

$$$25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Mínimo

$$$-25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.