Calculadora de Multiplicadores de Lagrange
Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange passo a passo
A calculadora tentará encontrar os máximos e mínimos da função de duas ou três variáveis, sujeitas às restrições dadas, usando o método dos multiplicadores de Lagrange, com as etapas mostradas.
Calculadora relacionada: Calculadora de pontos críticos, extremos e pontos de sela
Sua entrada
Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ sujeitos à restrição $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.
Solução
Atenção! Esta calculadora não verifica as condições de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange. Use por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.
Reescreva a restrição $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ como $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.
Forme o Lagrangeano: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.
Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).
Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.
O sistema tem as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.
$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$
$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$
Assim, o valor mínimo é $$$-25$$$, e o valor máximo é $$$25$$$.
Responder
Máximo
$$$25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.
Mínimo
$$$-25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.