Calculadora de Multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores máximo e mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ sujeitos à restrição $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Atenção! Esta calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua conta e risco: a resposta pode estar incorreta.

Reescreva a restrição $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ como $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Forme a Lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

O sistema possui as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Portanto, o valor mínimo é $$$-25$$$ e o valor máximo é $$$25$$$.

Máximo

$$$25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Mínimo

$$$-25$$$A em $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.