$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ fonksiyonunun kritik noktaları, ekstremumları ve eyer noktaları

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve sınıflandırın.

İlk adım, tüm birinci mertebeden kısmi türevleri bulmaktır:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.

Sistemin aşağıdaki gerçel çözümleri vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Şimdi, onları sınıflandırmayı deneyelim.

İkinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}$$$ ifadesini tanımlayın.

$$$\left(0, y\right)$$$, sonsuz sayıda noktadan oluşan bir kümedir; bunlar sınıflandırılamaz.

$$$\left(x, 0\right)$$$, sonsuz sayıda noktadan oluşan bir kümedir; bunlar sınıflandırılamaz.

Yerel Maksimumlar

Yerel maksimum yok.

Yerel Minimumlar

Yerel minimum yok.

Eyer Noktaları

Eyer noktası yok.

Sınıflandırılamayan kritik noktalar

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A