Lagrange Çarpanları Hesaplayıcısı

$$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ kısıtı altında $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulun.

Dikkat! Bu hesaplayıcı, Lagrange çarpanları yönteminin uygulanma koşullarını kontrol etmez. Kendi sorumluluğunuzda kullanın: sonuç hatalı olabilir.

Kısıt $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ ifadesini $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$ olarak yeniden yazın.

Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Birinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.

Sistemin aşağıdaki gerçel çözümleri vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Dolayısıyla minimum değer $$$-25$$$, maksimum değer ise $$$25$$$.

Maksimum

$$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A noktasındaki $$$25$$$A.

Minimum

$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A noktasındaki $$$-25$$$A.