Funktion $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ kriittiset pisteet, ääriarvot ja satulapisteet

Etsi ja luokittele funktion $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ kriittiset pisteet.

Ensimmäinen askel on löytää kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Yritetään nyt luokitella ne.

Määritä kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Määrittele lauseke $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ on ääretön pistejoukko; pisteitä ei voida luokitella.

$$$\left(x, 0\right)$$$ on ääretön pistejoukko; pisteitä ei voida luokitella.

Paikalliset maksimit

Ei paikallisia maksimeja.

Paikalliset minimit

Ei paikallisia minimejä.

Satulapisteet

Ei satulapisteitä.

Kriittiset pisteet, joita ei voida luokitella

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A