Kritiska punkter, extrempunkter och sadelpunkter för $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$

Bestäm och klassificera de kritiska punkterna för $$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$.

Första steget är att bestämma alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$.

Systemet har följande reella lösningar: $$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$.

Låt oss nu försöka klassificera dem.

Bestäm alla andrapartialderivator:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Definiera uttrycket $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}.$$$

$$$\left(0, y\right)$$$ är en mängd med oändligt många punkter; de kan inte klassificeras.

$$$\left(x, 0\right)$$$ är en mängd med oändligt många punkter; de kan inte klassificeras.

Lokala maxima

Inga relativa maxima.

Lokala minima

Inga relativa minima.

Sadelpunkter

Inga sadelpunkter.

Kritiska punkter som inte kan klassificeras

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A