$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ 的临界点、极值和鞍点

求并分类$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$的临界点。

第一步是求出所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$。

现在，让我们试着对它们进行分类。

求所有二阶偏导数：

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

定义表达式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}$$$。

$$$\left(0, y\right)$$$ 是一个由无限多个点组成的集合，这些点无法被分类。

$$$\left(x, 0\right)$$$ 是一个由无限多个点组成的集合，这些点无法被分类。

相对极大值

无相对极大值。

相对极小值

无相对极小值。

鞍点

没有鞍点。

无法分类的临界点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A