$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$ 的臨界點、極值與鞍點

找出並分類$$$f{\left(x,y \right)} = x^{2} y^{2}$$$的臨界點。

第一步是求出所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x y^{2}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2} y$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} 2 x y^{2} = 0 \\ 2 x^{2} y = 0 \end{cases}$$$。

該系統有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$。

現在，讓我們嘗試將它們分類。

求所有二階偏導數：

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 y^{2}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{2} y^{2}\right) = 4 x y$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{2} y^{2}\right) = 2 x^{2}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

定義表達式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 12 x^{2} y^{2}$$$。

$$$\left(0, y\right)$$$ 是由無限多個點組成的集合，因此無法對其進行分類。

$$$\left(x, 0\right)$$$ 是由無限多個點組成的集合，因此無法對其進行分類。

相對極大值

無相對極大值。

相對極小值

沒有相對極小值。

鞍點

沒有鞍點。

無法分類的臨界點

$$$\left(x, y\right) = \left(0, y\right)$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(x, 0\right)$$$A