拉格朗日乘數計算器

在約束 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ 的最大值與最小值。

注意！ 此計算器不會檢查應用拉格朗日乘數法的條件。使用風險自負：答案可能不正確。

將約束條件 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ 改寫為 $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$。

寫出拉格朗日函數：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$。

求所有一階偏導數：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).

接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$。

該系統有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$。

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

因此，最小值為 $$$-25$$$，最大值為 $$$25$$$。

最大值

在$$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A處的$$$25$$$A。

最小值

在$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A處的$$$-25$$$A。