拉格朗日乘数计算器

在约束条件 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ 的最大值和最小值。

注意！ 本计算器不会检查应用拉格朗日乘数法的条件。使用风险自负：答案可能不正确。

将约束条件 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ 改写为 $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$。

构造拉格朗日函数：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$。

求所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$。

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

因此，最小值为 $$$-25$$$，最大值为 $$$25$$$。

最大值

$$$25$$$A在$$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A处。

最小值

$$$-25$$$A在$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A处。