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临界点、极值与鞍点计算器
求函数的临界点、极值点和鞍点
您的输入
求并分类$$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$的临界点。
解答
第一步是求出所有一阶偏导数：
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$。
该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$。
现在，让我们试着对它们进行分类。
求所有二阶偏导数：
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$（步骤详见 偏导数计算器）。
定义表达式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16$$$。
由于 $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ 大于 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ 小于 $$$0$$$，可以断定 $$$\left(0, 0\right)$$$ 是相对极大值点。
由于 $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ 大于 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ 大于 $$$0$$$，因此可以断定 $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ 为相对极小值点。
由于$$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$小于$$$0$$$，可以判定$$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$为鞍点。
由于$$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$小于$$$0$$$，可以判定$$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$为鞍点。
答案
相对极大值
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A
相对极小值
$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A
鞍点
$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A