Kalkylator för Lagrange-multiplikatorer

Bestäm maximum- och minimumvärdena för $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ under bivillkoret $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Varning! Denna kalkylator kontrollerar inte att villkoren för att använda metoden med Lagranges multiplikatorer är uppfyllda. Använd den på egen risk: svaret kan vara felaktigt.

Skriv om bivillkoret $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ som $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Ställ upp Lagrangefunktionen: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$

Bestäm alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Systemet har följande reella lösningar: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Följaktligen är minimivärdet $$$-25$$$ och maximivärdet $$$25$$$.

Maximum

$$$25$$$A vid $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimum

$$$-25$$$A vid $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.