|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kalkylator för kritiska punkter, extrempunkter och sadelpunkter
Bestäm de kritiska punkterna, extrempunkterna och sadelpunkterna för en funktion
Räknaren kommer att försöka hitta de kritiska (stationära) punkterna, de relativa (lokala) maxima och minima samt sadelpunkterna för den flervariabla funktionen, med stegvis genomgång.
Relaterad kalkylator: Kalkylator för Lagrange-multiplikatorer
Din inmatning
Bestäm och klassificera de kritiska punkterna för $$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$.
Lösning
Första steget är att bestämma alla partiella derivator av första ordningen:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$.
Systemet har följande reella lösningar: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.
Låt oss nu försöka klassificera dem.
Bestäm alla andrapartialderivator:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).
Definiera uttrycket $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$$$
Eftersom $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ är större än $$$0$$$ och $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ är mindre än $$$0$$$, kan man konstatera att $$$\left(0, 0\right)$$$ är ett lokalt maximum.
Eftersom $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ är större än $$$0$$$ och $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ är större än $$$0$$$, kan man dra slutsatsen att $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ är ett relativt minimum.
Eftersom $$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ är mindre än $$$0$$$ kan man konstatera att $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ är en sadelpunkt.
Eftersom $$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ är mindre än $$$0$$$ kan man konstatera att $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ är en sadelpunkt.
Svar
Lokala maxima
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A
Lokala minima
$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A
Sadelpunkter
$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A