Lagrangen kertoimien laskin

Etsi funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ maksimi- ja minimiarvot rajoitusehdolla $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Huomio! Tämä laskin ei tarkista Lagrangen kertoimien menetelmän soveltamisen ehtoja. Käytä sitä omalla vastuullasi: vastaus saattaa olla virheellinen.

Esitä rajoite $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ muodossa $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Muodosta Lagrangen funktio: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Määritä kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Näin ollen minimiarvo on $$$-25$$$ ja maksimiarvo on $$$25$$$.

Maksimi

$$$25$$$A kohdassa $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimi

$$$-25$$$A kohdassa $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.