Kriittisten pisteiden, ääriarvojen ja satulapisteiden laskin

Etsi ja luokittele funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$ kriittiset pisteet.

Ensimmäinen askel on löytää kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$.

Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.

Yritetään nyt luokitella ne.

Määritä kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Määrittele lauseke $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$$$

Koska $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ on suurempi kuin $$$0$$$ ja $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ on pienempi kuin $$$0$$$, voidaan päätellä, että $$$\left(0, 0\right)$$$ on paikallinen maksimi.

Koska $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ on suurempi kuin $$$0$$$ ja $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ on suurempi kuin $$$0$$$, voidaan todeta, että $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ on paikallinen minimi.

Koska $$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ on pienempi kuin $$$0$$$, voidaan päätellä, että $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ on satulapiste.

Koska $$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ on pienempi kuin $$$0$$$, voidaan päätellä, että $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ on satulapiste.

Paikalliset maksimit

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A

Paikalliset minimit

$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A

Satulapisteet

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A