Υπολογιστής Πολλαπλασιαστών του Lagrange

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ υπό τον περιορισμό $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Προσοχή! Αυτή η αριθμομηχανή δεν ελέγχει τις συνθήκες εφαρμογής της μεθόδου των πολλαπλασιαστών του Λαγκράνζ. Χρησιμοποιήστε τη με δική σας ευθύνη: η απάντηση μπορεί να είναι λανθασμένη.

Αναδιατυπώστε τον περιορισμό $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ ως $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Σχηματίστε τη Λαγκρανζιανή: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή είναι $$$-25$$$, και η μέγιστη τιμή είναι $$$25$$$.

Μέγιστο

$$$25$$$A σε $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Ελάχιστο

$$$-25$$$A σε $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.