Υπολογιστής κρίσιμων σημείων, ακροτάτων και σημείων σέλας

Βρείτε και ταξινομήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$.

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$.

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.

Τώρα, ας προσπαθήσουμε να τα ταξινομήσουμε.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Ορίστε την παράσταση $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$$$

Εφόσον το $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ είναι μεγαλύτερο από το $$$0$$$ και το $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ είναι μικρότερο από το $$$0$$$, συμπεραίνουμε ότι το $$$\left(0, 0\right)$$$ είναι τοπικό μέγιστο.

Εφόσον $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$ και $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$, συμπεραίνεται ότι $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ είναι σχετικό ελάχιστο.

Εφόσον $$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ είναι μικρότερο από $$$0$$$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ είναι σημείο σέλας.

Εφόσον $$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ είναι μικρότερο από $$$0$$$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ είναι σημείο σέλας.

Τοπικά Μέγιστα

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A

Τοπικά Ελάχιστα

$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A

Σημεία σέλας

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A