Kalkulator Pengali Lagrange

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ dengan kendala $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Perhatian! Kalkulator ini tidak memeriksa syarat-syarat penerapan metode pengali Lagrange. Gunakan atas risiko Anda sendiri: jawabannya mungkin salah.

Tulis ulang kendala $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ sebagai $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Bentuk Lagrangian: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Tentukan semua turunan parsial orde pertama:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Sistem ini memiliki solusi riil berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Dengan demikian, nilai minimum adalah $$$-25$$$, dan nilai maksimum adalah $$$25$$$.

Maksimum

$$$25$$$A pada $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimum

$$$-25$$$A pada $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.