ラグランジュの未定乗数法計算機

制約 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ の下で、$$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ の最大値と最小値を求めよ。

注意！ この計算機はラグランジュ乗数法の適用条件を確認しません。自己責任でご利用ください。結果が正しくない場合があります。

制約 $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ を $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$ に書き換えよ。

ラグランジアンを立てよ: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

一階の偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$。

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

したがって、最小値は$$$-25$$$、最大値は$$$25$$$です。

最大値

$$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$Aにおける$$$25$$$A。

最小値

$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$Aにおける$$$-25$$$A。