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停留点、極値、および鞍点 計算機
関数の臨界点、極値、鞍点を求める
入力内容
$$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$ の臨界点を求め、分類せよ。
解答
最初のステップは、一階偏導関数をすべて求めることです:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$ を解きます。
この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$。
では、それらを分類してみましょう。
二階偏導関数をすべて求めよ:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
式$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16$$$を定義せよ。
$$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ は $$$0$$$ より大きく、$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ は $$$0$$$ より小さいので、$$$\left(0, 0\right)$$$ は極大点であると言える。
$$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ は $$$0$$$ より大きく、$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ も $$$0$$$ より大きいので、$$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ は相対最小値であると言える。
$$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ が $$$0$$$ より小さいため、$$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ は鞍点であるといえる。
$$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ が $$$0$$$ より小さいため、$$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ は鞍点であるといえる。
解答
極大値
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A
相対極小値
$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A
鞍点
$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A