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Calculatrice des multiplicateurs de Lagrange

Appliquer la méthode des multiplicateurs de Lagrange étape par étape

La calculatrice tentera de trouver les maxima et les minima d’une fonction à deux ou trois variables, sous les contraintes données, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, avec les étapes affichées.

Calculatrice associée: Calculatrice de points critiques, d’extrémums et de points selle

Facultatif.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Trouvez le maximum et le minimum de $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ sous la contrainte $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Solution

Attention ! Ce calculateur ne vérifie pas les conditions d'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Utilisez-le à vos risques et périls : le résultat peut être incorrect.

Réécrivez la contrainte $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ sous la forme $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Formez le lagrangien : $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Trouvez toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Ainsi, la valeur minimale est $$$-25$$$, et la valeur maximale est $$$25$$$.

Réponse

Maximum

$$$25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimum

$$$-25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.