Calculatrice de points critiques, d’extrémums et de points selle

La calculatrice tentera de trouver les points critiques (stationnaires), les maxima et minima relatifs (locaux), ainsi que les points selle de la fonction de plusieurs variables, avec les étapes détaillées.

Calculatrice associée: Calculatrice des multiplicateurs de Lagrange

Votre saisie

Trouvez et classez les points critiques de $$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$.

Solution

La première étape consiste à trouver toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$.

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.

Maintenant, essayons de les classer.

Trouvez toutes les dérivées partielles du second ordre :

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Définissez l'expression $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$$$

Puisque $$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$ est supérieur à $$$0$$$ et que $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$ est inférieur à $$$0$$$, on peut affirmer que $$$\left(0, 0\right)$$$ est un maximum relatif.

Puisque $$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$ et que $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$ est un minimum relatif.

Puisque $$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ est inférieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ est un point selle.

Puisque $$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$ est inférieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$ est un point selle.

Réponse

Maximums relatifs

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A

Minima relatifs

$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A

Points selles

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A