Calcolatrice dei moltiplicatori di Lagrange

Trova i valori massimo e minimo di $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ soggetta al vincolo $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Attenzione! Questo calcolatore non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzalo a tuo rischio: il risultato potrebbe essere errato.

Riscrivi il vincolo $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ come $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Costruisci la lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Trova tutte le derivate parziali del primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Pertanto, il valore minimo è $$$-25$$$ e il valore massimo è $$$25$$$.

Massimo

$$$25$$$A nel punto $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimo

$$$-25$$$A nel punto $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.