라그랑주 승수법 계산기

$$$x^{2} + y^{2} = 25$$$의 제약 조건 하에서 $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

주의! 이 계산기는 라그랑주 승수법을 적용하기 위한 조건을 확인하지 않습니다. 사용은 본인의 책임 하에 하십시오: 결과가 잘못될 수 있습니다.

$$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ 제약 조건을 $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$ 형태로 다시 쓰십시오.

라그랑지안을 구성하십시오: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

모든 1차 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

따라서 최소값은 $$$-25$$$, 최대값은 $$$25$$$입니다.

최댓값

$$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A에서의 $$$25$$$A.

최솟값

$$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A에서의 $$$-25$$$A.