|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
임계점, 극값 및 안장점 계산기
함수의 임계점, 극대·극소점, 안장점 찾기
사용자 입력
$$$f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$$$의 임계점을 찾아 분류하시오.
풀이
첫 번째 단계는 모든 1계 편도함수를 구하는 것입니다:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.
해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$.
이제 그것들을 분류해 보겠습니다.
모든 이계 편도함수를 구하시오:
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)
식 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16$$$을 정의하세요.
$$$D{\left(0,0 \right)} = 16$$$가 $$$0$$$보다 크고 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$$$가 $$$0$$$보다 작으므로 $$$\left(0, 0\right)$$$는 상대최대점이다.
$$$D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$$$가 $$$0$$$보다 크고 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$$$가 $$$0$$$보다 크므로, $$$\left(0, \frac{4}{3}\right)$$$는 상대 최소점이라고 할 수 있다.
$$$D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$가 $$$0$$$보다 작으므로, $$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$는 안장점이다.
$$$D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$$$가 $$$0$$$보다 작으므로, $$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$$는 안장점이다.
정답
국소 최댓값
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 2$$$A
극솟값
$$$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$$$A, $$$f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$$$A
안장점
$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$$$A, $$$f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$$$A