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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$625$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$; daher ist der Rest $$$676$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$; daher ist der Rest $$$676$$$.
Überprüfe $$$5$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$; daher ist der Rest $$$2500$$$.
Überprüfe $$$-5$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$; daher ist der Rest $$$2500$$$.
Überprüfe $$$25$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - 25$$$.
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$; daher ist der Rest $$$422500$$$.
Überprüfe $$$-25$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$.
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$; daher ist der Rest $$$422500$$$.
Überprüfe $$$125$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - 125$$$.
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$; daher ist der Rest $$$244922500$$$.
Überprüfe $$$-125$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$.
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$; daher ist der Rest $$$244922500$$$.
Überprüfe $$$625$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - 625$$$.
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$; daher ist der Rest $$$152607422500$$$.
Überprüfe $$$-625$$$: Teile $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ durch $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$.
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$; daher ist der Rest $$$152607422500$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: keine rationalen Nullstellen.