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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 的可能有理根與實際有理根
您的輸入
求 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$625$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$；因此，餘數為 $$$676$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$；因此，餘數為 $$$676$$$。
檢查 $$$5$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 5$$$。
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$；因此，餘數為 $$$2500$$$。
檢查 $$$-5$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$；因此，餘數為 $$$2500$$$。
檢查 $$$25$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 25$$$。
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$；因此，餘數為 $$$422500$$$。
檢查 $$$-25$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$。
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$；因此，餘數為 $$$422500$$$。
檢查 $$$125$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 125$$$。
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$；因此，餘數為 $$$244922500$$$。
檢查 $$$-125$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$。
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$；因此，餘數為 $$$244922500$$$。
檢查 $$$625$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 625$$$。
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$；因此，餘數為 $$$152607422500$$$。
檢查 $$$-625$$$：將 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$。
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$；因此，餘數為 $$$152607422500$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A。
實際的有理根：沒有有理根。