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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 的可能有理根和实际有理根
您的输入
求$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$625$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$1$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$；因此，余数为$$$676$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$；因此，余数为$$$676$$$。
检验 $$$5$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 5$$$。
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$；因此，余数为$$$2500$$$。
检验 $$$-5$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$；因此，余数为$$$2500$$$。
检验 $$$25$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 25$$$。
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$；因此，余数为$$$422500$$$。
检验 $$$-25$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$。
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$；因此，余数为$$$422500$$$。
检验 $$$125$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 125$$$。
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$；因此，余数为$$$244922500$$$。
检验 $$$-125$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$。
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$；因此，余数为$$$244922500$$$。
检验 $$$625$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - 625$$$。
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$；因此，余数为$$$152607422500$$$。
检验 $$$-625$$$：将 $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ 除以 $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$。
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$；因此，余数为$$$152607422500$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A。
实际的有理根：无有理根。