$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$625$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = 676$$$; dolayısıyla, kalan $$$676$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$; dolayısıyla, kalan $$$676$$$’dir.

• $$$5$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$; dolayısıyla, kalan $$$2500$$$’dir.

• $$$-5$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$; dolayısıyla, kalan $$$2500$$$’dir.

• $$$25$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - 25$$$ ile böl.

  $$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$; dolayısıyla, kalan $$$422500$$$’dir.

• $$$-25$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$; dolayısıyla, kalan $$$422500$$$’dir.

• $$$125$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - 125$$$ ile böl.

  $$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$; dolayısıyla, kalan $$$244922500$$$’dir.

• $$$-125$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$; dolayısıyla, kalan $$$244922500$$$’dir.

• $$$625$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - 625$$$ ile böl.

  $$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$; dolayısıyla, kalan $$$152607422500$$$’dir.

• $$$-625$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$'yi $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$; dolayısıyla, kalan $$$152607422500$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.

Bulunan rasyonel kökler: rasyonel kök yok.