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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$625$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$; したがって、余りは$$$676$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$; したがって、余りは$$$676$$$です。
$$$5$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - 5$$$ で割る。
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$; したがって、余りは$$$2500$$$です。
$$$-5$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ で割る。
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$; したがって、余りは$$$2500$$$です。
$$$25$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - 25$$$ で割る。
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$; したがって、余りは$$$422500$$$です。
$$$-25$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$ で割る。
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$; したがって、余りは$$$422500$$$です。
$$$125$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - 125$$$ で割る。
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$; したがって、余りは$$$244922500$$$です。
$$$-125$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$ で割る。
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$; したがって、余りは$$$244922500$$$です。
$$$625$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - 625$$$ で割る。
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$; したがって、余りは$$$152607422500$$$です。
$$$-625$$$ を検算：$$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ を $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$ で割る。
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$; したがって、余りは$$$152607422500$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.
実際の有理根: 有理根はありません。