|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$625$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$676$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$676$$$.
Ελέγξτε $$$5$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$2500$$$.
Ελέγξτε $$$-5$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$2500$$$.
Ελέγξτε $$$25$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - 25$$$.
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$422500$$$.
Ελέγξτε $$$-25$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$.
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$422500$$$.
Ελέγξτε $$$125$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - 125$$$.
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$244922500$$$.
Ελέγξτε $$$-125$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$.
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$244922500$$$.
Ελέγξτε $$$625$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - 625$$$.
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$152607422500$$$.
Ελέγξτε $$$-625$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ με τον $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$.
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$152607422500$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.
Ρητές ρίζες που βρέθηκαν: καμία ρητή ρίζα.