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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$625$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 676$$$ ; ainsi, le reste est $$$676$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$ ; ainsi, le reste est $$$676$$$.
Vérifiez $$$5$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$ ; ainsi, le reste est $$$2500$$$.
Vérifiez $$$-5$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$ ; ainsi, le reste est $$$2500$$$.
Vérifiez $$$25$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - 25$$$.
$$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$ ; ainsi, le reste est $$$422500$$$.
Vérifiez $$$-25$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$.
$$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$ ; ainsi, le reste est $$$422500$$$.
Vérifiez $$$125$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - 125$$$.
$$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$ ; ainsi, le reste est $$$244922500$$$.
Vérifiez $$$-125$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$.
$$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$ ; ainsi, le reste est $$$244922500$$$.
Vérifiez $$$625$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - 625$$$.
$$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$ ; ainsi, le reste est $$$152607422500$$$.
Vérifiez $$$-625$$$ : divisez $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ par $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$.
$$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$ ; ainsi, le reste est $$$152607422500$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.
Racines rationnelles effectives : aucune racine rationnelle.