Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$625$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{25}{1}$$$, $$$\pm \frac{125}{1}$$$, $$$\pm \frac{625}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 676$$$; joten jäännös on $$$676$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 676$$$; joten jäännös on $$$676$$$.

• Tarkista $$$5$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = 2500$$$; joten jäännös on $$$2500$$$.

• Tarkista $$$-5$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 2500$$$; joten jäännös on $$$2500$$$.

• Tarkista $$$25$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - 25$$$.

  $$$P{\left(25 \right)} = 422500$$$; joten jäännös on $$$422500$$$.

• Tarkista $$$-25$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - \left(-25\right) = x + 25$$$.

  $$$P{\left(-25 \right)} = 422500$$$; joten jäännös on $$$422500$$$.

• Tarkista $$$125$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - 125$$$.

  $$$P{\left(125 \right)} = 244922500$$$; joten jäännös on $$$244922500$$$.

• Tarkista $$$-125$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - \left(-125\right) = x + 125$$$.

  $$$P{\left(-125 \right)} = 244922500$$$; joten jäännös on $$$244922500$$$.

• Tarkista $$$625$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - 625$$$.

  $$$P{\left(625 \right)} = 152607422500$$$; joten jäännös on $$$152607422500$$$.

• Tarkista $$$-625$$$: jaa $$$x^{4} + 50 x^{2} + 625$$$ tekijällä $$$x - \left(-625\right) = x + 625$$$.

  $$$P{\left(-625 \right)} = 152607422500$$$; joten jäännös on $$$152607422500$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 25$$$, $$$\pm 125$$$, $$$\pm 625$$$A.

Löydetyt rationaaliset juuret: ei rationaalisia juuria.