$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$의 임계점, 극값점 및 안장점

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$의 임계점을 찾아 분류하시오.

첫 번째 단계는 모든 1계 편도함수를 구하는 것입니다:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

이제 그것들을 분류해 보겠습니다.

모든 이계 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

식 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16$$$을 정의하세요.

$$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$가 $$$0$$$보다 크고 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$가 $$$0$$$보다 크므로, $$$\left(-1, -1\right)$$$는 상대 최소점이라고 할 수 있다.

$$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$가 $$$0$$$보다 작으므로, $$$\left(0, 0\right)$$$는 안장점이다.

$$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$가 $$$0$$$보다 크고 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$가 $$$0$$$보다 크므로, $$$\left(1, 1\right)$$$는 상대 최소점이라고 할 수 있다.

국소 최댓값

상대 최댓값이 없습니다.

극솟값

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

안장점

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A