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$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ 的臨界點、極值與鞍點
相關計算器: 拉格朗日乘數計算器
您的輸入
找出並分類$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$的臨界點。
解答
第一步是求出所有一階偏導數：
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
接下來，解聯立方程組 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 或 $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$。
該系統有以下實數解：$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$。
現在，讓我們嘗試將它們分類。
求所有二階偏導數：
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (如需步驟，請參見偏導數計算器).
定義表達式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16$$$。
由於 $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ 大於 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ 大於 $$$0$$$，可以斷定 $$$\left(-1, -1\right)$$$ 是相對極小值。
由於 $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ 小於 $$$0$$$，可判定 $$$\left(0, 0\right)$$$ 為鞍點。
由於 $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ 大於 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ 大於 $$$0$$$，可以斷定 $$$\left(1, 1\right)$$$ 是相對極小值。
答案
相對極大值
無相對極大值。
相對極小值
$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A
$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A
鞍點
$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A