Kritiska punkter, extrempunkter och sadelpunkter för $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Bestäm och klassificera de kritiska punkterna för $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

Första steget är att bestämma alla partiella derivator av första ordningen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Lös därefter systemet $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ eller $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Systemet har följande reella lösningar: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Låt oss nu försöka klassificera dem.

Bestäm alla andrapartialderivator:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (för stegen, se kalkylator för partiella derivator).

Definiera uttrycket $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Eftersom $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ är större än $$$0$$$ och $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ är större än $$$0$$$, kan man dra slutsatsen att $$$\left(-1, -1\right)$$$ är ett relativt minimum.

Eftersom $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ är mindre än $$$0$$$ kan man konstatera att $$$\left(0, 0\right)$$$ är en sadelpunkt.

Eftersom $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ är större än $$$0$$$ och $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ är större än $$$0$$$, kan man dra slutsatsen att $$$\left(1, 1\right)$$$ är ett relativt minimum.

Lokala maxima

Inga relativa maxima.

Lokala minima

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Sadelpunkter

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A