Funktion $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ kriittiset pisteet, ääriarvot ja satulapisteet

Etsi ja luokittele funktion $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ kriittiset pisteet.

Ensimmäinen askel on löytää kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Yritetään nyt luokitella ne.

Määritä kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Määrittele lauseke $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Koska $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ on suurempi kuin $$$0$$$ ja $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ on suurempi kuin $$$0$$$, voidaan todeta, että $$$\left(-1, -1\right)$$$ on paikallinen minimi.

Koska $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ on pienempi kuin $$$0$$$, voidaan päätellä, että $$$\left(0, 0\right)$$$ on satulapiste.

Koska $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ on suurempi kuin $$$0$$$ ja $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ on suurempi kuin $$$0$$$, voidaan todeta, että $$$\left(1, 1\right)$$$ on paikallinen minimi.

Paikalliset maksimit

Ei paikallisia maksimeja.

Paikalliset minimit

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Satulapisteet

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A