Points critiques, extrémums et points selle de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Trouvez et classez les points critiques de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

La première étape consiste à trouver toutes les dérivées partielles du premier ordre :

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Ensuite, résolvez le système $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Le système admet les solutions réelles suivantes : $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Maintenant, essayons de les classer.

Trouvez toutes les dérivées partielles du second ordre :

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Définissez l'expression $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Puisque $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$ et que $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(-1, -1\right)$$$ est un minimum relatif.

Puisque $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ est inférieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(0, 0\right)$$$ est un point selle.

Puisque $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$ et que $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ est strictement supérieur à $$$0$$$, on peut conclure que $$$\left(1, 1\right)$$$ est un minimum relatif.

Maximums relatifs

Aucun maximum relatif.

Minima relatifs

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Points selles

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A