$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ の臨界点、極値、および鞍点

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ の臨界点を求め、分類せよ。

最初のステップは、一階偏導関数をすべて求めることです:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$。

では、それらを分類してみましょう。

二階偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

式$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16$$$を定義せよ。

$$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ は $$$0$$$ より大きく、$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ も $$$0$$$ より大きいので、$$$\left(-1, -1\right)$$$ は相対最小値であると言える。

$$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ が $$$0$$$ より小さいため、$$$\left(0, 0\right)$$$ は鞍点であるといえる。

$$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ は $$$0$$$ より大きく、$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ も $$$0$$$ より大きいので、$$$\left(1, 1\right)$$$ は相対最小値であると言える。

極大値

局所最大値はありません。

相対極小値

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

鞍点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A